EQUAZIONE DI UNA Retta passante per due punti

EQUAZIONE DI UNA Retta passante per due punti

Valori notevoli di m:
m=0, la retta è l'asse x o una retta ad esso parallela.
m=1, la retta è la bisettrice del I° e III° quadrante o una retta ad essa parallela.
m =-1, la retta è la bisettrice del II° e IV° quadrante o una retta ad essa parallela.

Il coefficiente m si chiama coefficiente angolare della retta r; m è detto anche pendenza della retta r.

a indica la pendenza o coefficiente angolare

Dal valore di m dipende l'angolo a che la retta r forma con il verso positivo dell'asse x.

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La retta passante per due punti distinti $P = (x 1, y 1)$ e $Q = (x 2, y 2)$ del piano è descritta in forma cartesiana implicita

dalla seguente equazione:

$(x_2-x_1)\cdot (y-y_1) - (y_2-y_1)\cdot (x-x_1) = 0$

che può essere riscritta nel modo seguente:

$(x_2 - x_1)\cdot y +(y_1 - y_2)\cdot x + y_1(x_1-x_2) + x_1(y_2 - y_1) = 0.$

Se $x_1\neq x_2$ , la retta non è verticale e può essere descritta in forma esplicita:

$y = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} ( x - x_1 ) + y_1 .$

Analogamente,

se $y_1\neq y_2$ la retta non è orizzontale e può essere descritta eplicitando la variabile $x$ .

Se la retta non è né verticale né orizzontale, può anche essere descritta dall'equazione seguente:

Forma esplicita

La retta può anche essere descritta in forma esplicita come

y = mx + q oppure x = my + q

dove m si chiama coefficiente angolare e rappresenta la pendenza della retta.

Nel caso specifico dell'equazione y = mx + q, il coefficiente m è la tangente (trigonometrica) dell'angolo

che la retta forma con l'asse delle ascisse; il coefficiente q si chiama intercetta od ordinata all'origine

e rappresenta il punto di passaggio della retta per l'asse delle ordinate

( IN OGNI CASO IL PUNTO DI INTERSEZIONE CON L’ORDINATA Y )

ovvero l'entità della traslazione della retta dall'origine. Se esso non è presente in una equazione,

ovvero è nullo, vuol dire che la retta passa per l'origine. In tal caso la forma esplicita si riduce a:

y = mx.

Lo stesso discorso si applica, invertendo ascisse ed ordinate, all'equazione x = my + q.

Si tenga presente che, a differenza della forma implicita, ciascuna delle due forme esplicite

non descrive tutte le rette possibili: ad esempio le rette parallele all'asse y, come la retta x = 3,

non sono descrivibili nella forma y = mx + q, in quanto non si possono ottenere per alcun valore

del coefficiente angolare m; per lo stesso motivo le rette parallele all'asse x, come la retta y = − 1,

non sono descrivibili nella forma x = my + q.

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Equazione retta perpendicolare a retta data e passante per un punto assegnato

Ho le coordinate di un punto
A = (x₁, y₁)
e l'equazione di una retta (non passante per il punto)
y = m₁x + q
voglio trovare l'equazione della retta passante per il punto e perpendicolare alla retta data

Prima facciamo il fascio di rette che passa per il punto A = (x₁, y₁)
y - y₁ = m(x - x₁)
poi tra tutte queste scegliamo quella che ha coefficiente

angolare inverso ed opposto della retta data ( m= -1/m₁)
Quindi la formula finale e'

y - y₁ = -1/m₁(x - x₁)

In pratica seguiamo quello che facciamo quando, in geometria, tracciamo per un punto una retta perpendicolare ad una retta data:

posizioniamo la riga sul punto ruotandola leggermente (fascio di rette) finche' non e' perpendicolare (coefficiente angolare opposto

ed inverso) con la retta data, poi tracciamo la perpendicolare

Vediamo un semplice esempio trovare l'equazione della retta passante per il punto A(-4, 3)

e perpendicolare alla retta y = 4x + 3
Ho:
x₁ = -4
y₁ = 3
m₁ = 4

Applico la formula:
y - y₁ = -1/m₁(x - x₁)
y - 3 = -1/4 (x + 4)
y - 3 = -1/4 x - 1
y = -1/4 x -1 + 3
y = -1/4 x + 2
E' sempre buona norma rappresentare il problema geometricamente per poi poter controllare

l'esattezza dei risultati. La retta cercata taglia l'asse y nel punto 2 ed e' diretta dall'alto

verso il basso con inclinazione 1/4 (ogni 4 spazi su x si ha uno spazio su y); a destra puoi

vederne la rappresentazione grafica

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SCRIVERE L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER A(2,3) E COFFICIENTE ANGOLARE M = -2

Uso l’equazione y-y₀= m(x - x₀)

y-3 = -2(x – 2) y= -2x+4+3 y= -2x+7 retta con coefficiente angolare negativo quindi forma un angolo ottuso

rispetto alla direzione positiva dell’asse x. Il termine noto vale 7, dunque la retta incontra l’asse y nel punto (0,7)

x	y
0	7
1	5
2	3
-1	9
-2	11
3	1
5	-3

ESERCIZI con suggerimenti

Scrivi l’equazione della retta per A(0,5) e coefficiente angolare m = -2/3. Trova poi l’equazione in forma implicita

Abbiamo le coordinate del punto e il coefficiente angolare, → y - ….. = …(x- )

Elimino le parentesi ed isolo la y → y = -2/3x – 5 .

L’ equazione in forma implicita si ottiene calcolando il minimo comune multiplo e portando tutti i termini a primo membro → 2x +3y +15 =0

Attribuiamo dei valori ad x, calcoliamo y e rappresentiamo

Scrivi l’equazione della retta per A(-1/5,2/5) e coefficiente angolare m = 3/5. Trova poi l’equazione in forma implicita

Abbiamo le coordinate del punto e il coefficiente angolare, → y - ….. = …(x- …. )

Elimino le parentesi ed isolo la y → y = 3/5x +13/25

L’ equazione in forma implicita si ottiene calcolando il minimo comune multiplo e portando tutti i termini a primo membro → 15x-25y+13 = 0

Attribuiamo dei valori ad x, calcoliamo y e rappresentiamo

ESERCIZI SIMILI

Analogamente a quanto fatto in precedenza trova l’equazione delle rette passanti per A con coefficiente m se :

A(-4,5) m = 3
A(6,-2) m = -1/2
A(-1/6,-1/2) m = 4/3

1. y = 3x + 17 -3x +y -17=0

x	y
-2	11
-1	14
0	17
1	20
2	23
-4	5
-5	2

2. y = -1/2x + 1 x +2y -2 = 0

x	y
-2	2
-1	1,5
0	1
1	0,5
2	0
4	-1
6	-2

3. y = 4/3x- 5/18 24x - 18y -5 = 0

x	y
-1	-29/18
-3	-77/18
0	-5/18
1	19/18
3	67/18

ESERCIZIO RISOLTO

Scrivi l’equazione delle rette passanti per P(1,4) rispettivamente parallela alla retta 2x-y+3 = 0 e perpendicolare a y = - 2/3x+7/3

Tutte le rette passanti per un punto di coordinate (x₀,y₀) hanno equazione del tipo y - y₀= m(x- x₀)

Pertanto tutte le rette per P avranno equazione y – 4 = m( x -1)

La retta parallela a r: 2x-y+3 = 0 avrà lo stesso coefficiente angolare, dunque esplicitando r →

y = 2x + 3 ottengo y – 4 = 2( x -1) → y = 2x +2

La retta perpendicolare a r: y = -2/3x+7/3 avrà coefficiente angolare opposto e reciproco dunque m = 3/2 → y – 4 = 3/2 (x – 1) → y = 3/2x + 5/2

ESERCIZI SIMILI con suggerimento

Analogamente a quanto fatto in precedenza trova l’equazione delle rette passanti per

P( -3/4,5/2) parallela alla bisettrice del 1° e 3° quadrante

La retta bisettrice ha equazione y = x dunque il suo coefficiente angolare vale 1

La retta cercata avrà lo stesso coefficiente angolare m = 1 e passa per P

y – 5/2 = 1( x + ¾)

y = x + 13/4 o 4x -4y +13 =0

Trova l’equazione della retta passante per P( -3,5) parallela alla retta 3x+4y-2 = 0

La retta data è in forma implicita → y = …………

La retta cercata avrà lo stesso coefficiente angolare m = … e passa per P → y -….=…(x-…)

→ 3x +4y +11 =0

Trova l’equazione della retta passante per P( 1/3,-4) perpendicolare alla retta 2x-5y-2 = 0

La retta data è in forma implicita → y = …………

La retta cercata avrà coefficiente angolare opposto e reciproco m = … e passa per P → y -….=…(x-…) → 3x +4y +11 =0